Cours de la fonction logarithme népérien avec des exercices corrigés

La fonction exp(x) exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ donc elle admet une fonction réciproque défini sur ℝ

Définition

La fonction réciproque de la fonction exponentielle s’appelle fonction logarithme népérien notée 𝒍𝒏

La fonction exponentielle exp(x) et logarithme népérien ln sont réciproques l’une de l’autre

Relations 

∀ 𝒙 ∈ ℝ     ∀ y ∈]0 ; + ∞[           ( y= 𝒆𝒙𝒑(𝒙) ⇔ x=ln(y)

∀𝒙 ∈]0 ; + ∞[                                  𝒆𝒙𝒑(ln(𝒙)) = 𝒙

∀ 𝒙 ∈ ℝ                                              ln(𝒆𝒙𝒑(𝒙) )= 𝒙

∀ 𝒙 ∈ ℝ ∀ y ∈]0 ; + ∞[                    y= 𝒆^𝒙 ⇔ 𝒙 =ln(y)

∀𝒙 ∈]0 ; + ∞[                             𝒆 ^ln(x) = 𝒙                  ∀ 𝒙 ∈ ℝ ln(𝒆^𝒙)= 𝒙

 

Equations et inéquations

1-Equations

(∀ a, b ∈ ]0 ; + ∞[ ) 𝒍𝒏(𝒂) = 𝒍𝒏(𝒃) ⟺ 𝒂=𝒃

Exemple 

Résoudre dans ℝ l’équation    ln(x)=1+ln(5)

∀ x∈]0;+∞[ ln(x)=1+ln(5) ⟺ ln(x)=ln(e)+ln(5) ⟺ ln(x)=ln(5e)

x=5e       solution S={5e}

Inéquations

(∀ a, b ∈ ]0 ; + ∞[ )          ln(a) < ln(b) ⟺ a< b

Exemple :

Résoudre dans l’inéquation       ln(3x+1) <2

• Condition d’existence :  3x+1 > 0 ⟺ x >-1/3
• ∀ x∈ ]-1/3;+∞[ ln(3x+1) < 2 ⟺ ln(3x+1) < ln(e²) ⟺ 3x+1< e² x < (e²-1)/3

d’où l’ensemble des solutions      S= ]-1/3 ; (e²-1)/3 [

 

Propriétés de la fonction logarithme népérien

 (∀𝑥 > 0; ∀𝑦 > 0)       𝑙𝑛(𝑥 × 𝑦) = 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑙𝑛(𝑦)

(∀ a, b ∈ ]0 ; + ∞[ )

• 𝒍𝒏(1/a) = −𝒍𝒏(𝒂)
• 𝒍𝒏(
  $\frac{a}{b}$

  ) = 𝐥𝐧(𝒂)− 𝒍𝒏(𝒃)

• 𝒍𝒏(aⁿ ) = 𝒏 𝒍𝒏(𝒂)
• 𝒍𝒏(
  $\sqrt{a}$

  ) = 𝟏/𝟐 𝒍𝒏(𝒂)

(∀𝑎₁, 𝑎₂, …….𝑎_𝑛) ∈ ]0 ; + ∞[ )

  𝒍𝒏(𝒂_𝟏×𝒂_𝟐×……..×𝒂_𝒏) = 𝒍𝒏(𝒂_𝟏)+𝒍𝒏(𝒂_𝟐)+⋯.+𝒍𝒏 (𝒂_𝒏)

 

Limites de la fonction 𝒍𝒏(x)

Etude de la fonction logarithme népérien

-Continuité et dérivabilité

• La fonction logarithme népérien ln est continue sur ]0 ; + ∞[ )
• La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et pour tout réel x de ]0 ; + ∞[

Sens de variations

Cela montre que la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[

Limites

Tableau de variation et représentation graphique

Représentation de la fonction logarithme népérien

Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

 

Dérivée de la fonction 𝐥𝐧(𝒖(𝒙))

Soit 𝒖(𝒙) une fonction dérivable sur un intervalle I et 𝒖(𝒙) >0 alors la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle I par 𝒇(𝒙)= 𝐥𝐧(𝒖(𝒙)) est dérivable sur I et on a :

Fonction logarithme de base a

On appelle fonction logarithme de base a la fonction noté log _a tel que:

Soit a ∈ ]0;+∞[  ∀x∈ ] 0 ; + ∞ [

le logarithme de base a=e est le logarithme népérien ∀x∈ ]0;+∞[ loge x = ln x

Propriétés

∀x∈ ]0;+∞[  ∀ y ∈ ]0;+∞[

• log_a (x y) = log_ax + log_ay
• log_a (x/ y)= log_a x – log_a y
• log_a (xⁿ )=𝒏 log_a(x)

La fonction l𝑜𝑔_𝑎 est une bijection de ]0, +∞[ vers ℝ

(∀𝑥 > 0) (∀𝑦 > 0)       log_a(𝑥) = log_a(𝑦) ⟺ 𝑥 = 𝑦

(∀𝑥 > 0)(∀𝑟 ∈ ℚ)         log_a(𝑥) = 𝑟 ⟺ 𝑥 = 𝑎^𝑟

log_a N= x ⟺ a^x= N

Dérivée

La fonction l𝑜𝑔_𝑎 est continue et dérivable sur ]0, +∞[ et (∀𝑥 ∈]0, +∞[) :

 

La fonction logarithme décimal

Définition:

La fonction logarithme de base 10 (a = 10) notée log est appelée logarithme décimal.

On a donc pour ∀x∈ ]0;+∞[

Propriétés :

• 𝑙𝑜𝑔(10) = 1

(∀𝑥 > 0)(∀𝑟 ∈ ℚ)

• 𝑙𝑜𝑔(𝑥) = 𝑟 ⟺ 𝑥 = 10^r
• log(10^r) = r
• 𝑙𝑜𝑔(𝑥) > 𝑟 ⟺ 𝑥 > 10^𝑟
• 𝑙𝑜𝑔(𝑥) ≤ 𝑟 ⟺ 0 < 𝑥 ≤ 10^𝑟

Exercice

Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes

f(x)=ln(5x+10)

SOLUTION

Condition d’existence de ln si : 5x+10 >0 ⇔ 5x>-10 ⇔ x > -2

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f(x)=log₂(2x-10)

SOLUTION

Condition d’existence de log si 2x-10 > 0 ⇔ 2x > 10 ⇔ x > 5

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Calculer log₂ 24 , log₅ 625

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Résoudre dans ℝ l’équation 3 log₁₀ x +1 =2

3 log₁₀ x =1 ⟺ log₁₀ x=1/3 ⟺ x=10^1/3

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Résoudre dans ℝ l’équation      log₂ (9x – 4)=3

log₂ (9x – 4)=3 ⟺ 2³=9x-4 ⟺ 8=9x-4 12=9x x=4/3

Donc la solution de l’équation est  x=4/3

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Résoudre dans ℝ l’équation log₂(x+6) – log₂(3x+2)= -1

log₂(x+6) – log₂(3x+2)=-1

3x + 2 =2x + 12 x = 10

Donc la solution de l’équation est x = 10

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Résoudre dans ℝ l’équation   log₃(x+6) + log₃(3x) = 4

log₃(x+6) + log₃(3x) = 4 ⟺ Log₃(x+6)(3x) = 4

Log₃(3x² + 18x) = 4 ⟺ 3⁴ = 3x² + 18x ⟺ 81 = 3x² + 18x

27 = x² +6x ⟺ 0 = x² + 6x – 27 ⟺ 0 = (x+9)(x-3)

x + 9 = 0 ou x – 3 = 0        ⟺    x = -9 ou x = 3

Condition d’existence est de log  log₃(x+6) est x+6>0⟹ x>-6

Donc la solution de l’équation est x = 3

Exercices sur dérivées

f(x)=ln(5x-10)

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f(x)=ln(5x⁴+8x-12)

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f(x)=ln(3x -4)⁴

f(x) = ln(3x -4)⁴ = 4 ln(3x -4)

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