Cours de fonction exponentielle avec des exemples ( exercices ) corrigés pour le terminale.

1. Théorème

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Il existe une seule et unique fonction f définie et dérivable sur ℝ et telle que :     (∀ 𝒙 ∈ ℝ ) 𝒇′(𝒙)=𝒇(𝒙) et 𝒇(𝟎)=𝟏

Cette fonction s’appelle fonction exponentielle On la note exp

Nouvelle notation de la fonction exponentielle

On pose e = exp(1) e ≈ 2,718281828

(∀ 𝒙 ∈ ℝ ) exp(𝒙) = 𝒆^𝒙 « exponentielle de 𝒙 » ou « e exposant 𝑥 »

Equations et inéquations

(∀𝑥 ∈ ℝ)(∀𝑦 ∈ ℝ)(𝑒𝑥𝑝(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝(𝑦) ⟺ 𝑥 = 𝑦)

(∀𝑥 ∈ ℝ)(∀𝑦 ∈ ℝ)(𝑒𝑥𝑝(𝑥) ≤ 𝑒𝑥𝑝(𝑦) ⟺ 𝑥 ≤ 𝑦)

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

(∀ 𝒙 ∈ ℝ ) (∀𝑦 ∈ ℝ)( (∀ r ∈ ℚ )

𝒆^𝒙+y= 𝒆^{𝒙 .} 𝒆^y

𝒆^-𝒙 = 

𝒆^𝒙-y =

𝒆^r𝒙 = (𝒆^𝒙)^r

Calcul des limites

Etude de la fonction exponentielle

Dérivée et sens de variations

La fonction exponentielle est continue et dérivable sur ℝ 

(∀ 𝒙 ∈ ℝ )   on a : 𝒆𝒙𝒑’(𝒙)= 𝒆𝒙𝒑(𝒙)

(∀ 𝒙 ∈ ℝ ) : 𝒆^𝒙 > 0   donc pour: (∀ 𝒙 ∈ ℝ ) (𝒆^𝒙)’ > 0 .

La fonction dérivée est strictement positive sur ℝ donc, la fonction exponentielle est strictement croissante sur tout ℝ . D’où le tableau de variations de la fonction exponentielle :

Tableau de variation de la fonction exponentielle 𝒇(𝒙)= 𝒆^𝒙

Courbe représentative de la fonction exponentielle

Dérivée d’une fonction composée

Théorème

Soit la fonction 𝒖 une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ alors la fonction 𝒇 définie sur l’intervalle I par 𝒇 (𝒙)= 𝒆 ^{𝒖 (𝒙)} est dérivable sur I et on a :    (∀ 𝒙 ∈ I )      𝒇′(𝒙)=𝒖′(𝒙) 𝒆^𝒖(𝒙)

^{Exemple1 :  déterminer la dérivée de la fonction suivante:}

𝒇 (𝒙)= e^7×2-5x+4

Solution

𝒇′(𝒙)= (7x²-5x+4) ^’ e^7×2-5x+4 = (14x-5) e^7×2-5x+4

^{Exemple2 : déterminer la dérivée de la fonction suivante:}

𝒇 (𝒙)= x² * e^5x+4

Solution

𝒇′(𝒙)= (x²)’ *e^5x+4+ x²(e^5x+4)’=2xe^5x+4+5 x² e^5x+4

=e^5x+4(5 x²+2x)

FONCTIONS EXPONENTIELLES DE BASE a

DEFINITION

Soit a > 0 La fonction f : x → a^x est appelée fonction exponentielle de base a.

Exemples :

•  a=10       f(x)=  10^x  base 10
• a= 2        f(x)=   2^x    base 2     
• a= e         f(x)=  e^x   base e

Propriétés

Soit (a> 0 et a ≠1) pour tous réels x et y :

a^x >0                       a^-x =                            a^x a^y = a^x+y

= a^x-y                      (a^x)^y = a^xy                    a^x b^x = (ab)^x

Equations et inéquations

(∀𝑥 ∈ ℝ)(∀𝑦 ∈ ℝ)            a^x = a^y   ⟺   x = y

(∀𝑥 ∈ ℝ)(∀𝑦 ∈ ℝ)            a^x ≤ a^y ⟺ x ≤ y

Exemple

1. Résoudre l’équation suivante 2^x =16

Solution

2^x =16   ⟺  2^x=2⁴ donc x=4

1. Résoudre l’équation suivante 3^x =243

Solution

3^x=243 ⟺   3^x =  3⁵ donc x=5

          2.Résoudre l’équation suivante 2^x+3 4^x+1 -320=0

Solution

2^x.2³+4^x*4¹ -320=0      ⟺   2^x.2³+(2^x)^2.(2²)-320=0

On pose : X=2^x   l’équation s’écrit : 4X²+8X-320=0 ⟺   X²+2X-80=0

Après factorisation on obtient : (X+10)*(X-8)=0

X+10=0 ⟺  X= -10       2^x  =-10   est rejeté  puisque 2^x>0

X-8=0 ⟺  X= 8         X= 2^x =8 ⟺  x=3 est solution de l’équation

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