Je vous présente le cours précis et simple de : la dérivée d’une fonction avec des exercices corrigés pour tous les niveaux et spécialement : Bac Pro, S et ES.
Dérivé en un point
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0 un élément de I
On dit que la fonction f est dérivable en x0 si et seulement si :
Ou bien
f´( x0) est le nombre dérivé de la fonction f en x0.
Interprétation géométrique
L’équation tagente de la courbe de f
Théorème : Si la fonction f est dérivable en x0 alors la courbe de f admet au point M(x0 ; f(x0)) une tangente dont l’équation est :
y = f'( x0 ) .(x – x0 ) + f( x0 )
f'( x0 ) est le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe de f
Exemple :
La fonction f est définie par : f(x)= 2x²+1
Déterminons l’équation de la tangente en x0 = 1
L’équation de la tangente y = f’ ( x0 ).(x – x0 )+ f( x0 ) = 4(x-1)+3=4x-1
Dérivabilité à droite, dérivabilité à gauche:
Dérivabilité à droite
f est dérivable à droite en x0 si et seulement si :
Dérivabilité à gauche
f est dérivable à gauche en x0 si et seulement si :
le nombre dérivé à gauche au point x0 et on note :
f n’est pas dérivable en x0 mais elle est dérivable à droite et à gauche en x0 .
la courbe de f admet une demi-tangente à droite et une demi tangente à gauche en x0
et A( x0 ; f(x0) ) est un point anguleux , les deux demi tangentes ne sont pas portées par la même droite.
Alors la courbe (C ) admet à droite au point A( x0 ,f( x0 )) a une demi tangente verticale dirigée vers le haut
Alors la courbe (C ) admet à droite au point A( x0 ; f(x0 ) a une demi tangente verticale dirigée vers le bas
Alors la courbe (C ) admet à gauche au point A( x0 ,f( x0 )) a une demi tangente verticale dirigée vers le haut
Exemples
Etudier la dérivabilité de la fonction f définie par f(x)=|x| en 0
Solution
∀ x ∈ [0 ; +∞ [ f(x) = x
∀ x ∈ ] -∞ ; 0 ] f(x) = -x
la courbe de f admet une demi-tangente à droite et une demi tangente à gauche en 0.
A( 0, f(0) ) est un point anguleux.
Etudier la dérivabilité de la fonction f définie par : f(x)=√x en 0
Solution
La fonction f est définie sur [0;+∞ [
Est une forme indéterminée
On change la forme
La fonction f n’est pas dérivable en 0
f admet une demi-tangente verticale dirigée vers le haut en 0.
Dérivabilité en -2 de la fonction f définie par
Etudier la dérivabilité de la fonction f définie par : f(x)=|x+2| en -2
La fonction f est définie sur R
Si x+2>0 alors f(x)=x+2
Si x+2<0 alors f(x)=-x-2
f n’est pas dérivable en -2 mais elle est dérivable à droite et à gauche. Sa courbe admet une demi-tangente à droite et une demi tangente à gauche en -2.
A(-2,f(-2) ) est un point anguleux.
Fonction dérivée sur un Intervalle
f’: x ↦ f'(x)
f fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable ∀ x∈I.
La fonction f’ est appelée fonction dérivée de la fonction f
On la note f’ la fonction dérivée de f telle que : f’: x↦f'(x)
Ecriture différentielle f’ (x)=df/dx
Exemple
Déterminer la dérivée de la fonction : f(x)=3x² + 4x – 5
Finalement f'(x)=6x+4
Opérations sur les dérivées
Dérivées des fonctions usuelles
Dérivée de fonctions composées
Dérivée de la composition de deux fonctions
Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur I et f (I).
Si f est dérivable sur I et g est dérivable sur f (I).
Alors la dérivée de la fonction composée g ∘ f est dérivable sur I:
∀x ϵ I ( g∘ f)’(x)=g’(f(x)). f’(x)
Dérivée et sens de variation
L’étude des variations d’une fonction
Théorème :
Soit f une fonction dérivable sur I.
∀x ∈ I, f ‘(x) <0 alors f est strictement décroissante sur I.
∀x ∈ I, f ‘(x) >0 alors f est strictement croissante sur I.
∀x ∈ I, f ‘(x) =0 alors f est constante sur I.
Extremum d’une fonction
Théorème
Soit f une fonction dérivable sur I. Soit x0 ∈ I.
Si f ( x0 ) est un extrémum alors f ‘( x0 )=0
Si f ‘ s’annule en x0 en changeant de signe alors f ( x0 ) est un extrémum.
Exercices Corrigés : Fonction dérivée
Exercice 1
Soit f(x)= k (constante)
et f’ (x)=0
Déterminer la dérivé de :
f(x) = 20 => f’ (x) = 0
f(x)= – 20 => f’ (x) = 0
Exercice 2:
Déterminer la dérivé de :
on appliquant la fonction ci-dessus, voici le résultat du dérivé:
Exercice 3:
soit la fonction suivante
f(x) = g(x) ∙ h(x) f’ (x)=g’ (x) ∙ h(x) + g(x) ∙ h(x)
Déterminer la dérivé de :
f(x)= (5x-7) * (2x+9)
On appliquant la formule ci-dessus:
f’ (x) = 5(2x+9) + 2(5x-7) = 10x+45+10x-14 = 20x+31
Déterminer la dérivé de :
On appliquant la formule dérivée ci-dessus
Voici le résultat :
Exercice 5:
f(x) = h( g(x) )
et f’ (x) = h'(g(x)) ∙ g'(x)
Déterminer la dérivé de :
f(x)= sin (3x²-1)
Nous obtenons :
f’ (x)= cos (3x²-1) ∙ 6x
Lire Aussi : Nombres complexes
Et finalement on a arrivé à la fin du cours, si vous avez des questions ou des notes, lissez le dans le commentaire, l’équipe de COURSUNIVERSEL va vous répondrai le plutôt possible.
Fonction dérivable en a et nombre dérivé en a
f est une fonction et a un point de son ensemble de définition. Dire que f est dérivable en a, et que le nombre dérivé de f en a est L, signifie que la fonction
h→f(a+h)−f(a)h admet pour limite en zéro le nombre L.