cours des équations différentielles avec des exercices corrigés pour le terminale.

Généralités

Une équation différentielle s’écrit sous la forme d’une égalité dans laquelle figure une fonction y= 𝑓 (x) , sa dérivée y ‘ =𝑓 ‘(x) ou ses dérivées successives.

on appelle une équation différentielle d’ordre 1 si la dérivée première est seule à figurer dans l’équation

exemple :       y ‘ = a.y + b avec a ≠ 0 a, b : réels (y = 𝑓 ; y’ = 𝑓 ’ )

on appelle une équation différentielle d’ordre 2 lorsque la dérivée seconde figure dans l’ équation

exemple :     y  » + a.y ‘ + b.y = 0        a, b : réels   (y =𝑓 ; y’ = 𝑓 ’ ; y’’ =𝑓 ’’)

Nous considérons a et b comme des constantes réels pour toutes les équations différentielles à étudier.

Résolution de l’équation différentielle d’ordre 1 : 𝒚′+𝒂𝒚=b

Soit a, b : deux valeurs constants réels ( a ≠ 0)

Résoudre l’équation différentielle 𝒚′ + 𝒂𝒚 = b  c’est de déterminer toutes les fonctions définies et dérivable sur ℝ qui vérifient cette égalité.

Solution générale de l’équation différentielle 𝒚′ + 𝒂𝒚 = 𝟎

Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies par :         y= 𝑓(𝑥) = ke^-ax    où k ∈ ℝ

Exemple

Déterminer les fonctions, dérivables sur ℝ, solutions de l’équation différentielle : y’ + 2y = 0.

Solution

y ’+ 2y = 0 les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions :   𝑓(𝑥) = ke^-2x . k ∈ ℝ

L’équation différentielle : 𝒚′ + 𝒂𝒚 = b avec a ≠ 0 et b ≠ 0

Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies par :     𝑓(𝑥) = ke^-ax+      k ∈ ℝ

Exemple

Déterminer les fonctions, dérivables sur R, solutions de l’équation différentielle :     y’ − 6y + 1 = 0.

Solution

y ’− 6y +1= 0    ⇔   y ’ − 6y= –1

Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions :

𝑓(𝑥) = ke^6x +()   ⇔  𝑓(𝑥) = ke^6x  +

Unicité de la solution de l’équation différentielle sous condition initiale 𝑥₀, 𝑦₀

Propriété:

Soient des réels donnés 𝑥₀, 𝑦₀ , b  , 𝑎 ≠ 0

L’équation différentielle 𝑦′ + 𝑎𝑦 = 𝑏 admet une unique solution 𝑓 dérivable sur ℝ   vérifiant 𝑓(𝑥₀) = 𝑦₀

Exemple

Déterminer la solution de l’équation différentielle y’ − 6y + 6 = 0 qui vérifie y(0) = 5.

Solution

y ’− 6y +6= 0    ⇔   y ’ − 6y = -6.

Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions :

𝑓(𝑥) = ke^6x +()     ⇔  𝑓(𝑥) = ke^6x+1

condition initial : 𝑓(0) = ke⁰ +1=5    ⇔ k+1=5  donc k=4

La fonction f, solution de l’équation y’ − 6y + 6 = 0 et telle que 𝑓(0) = 5, est donc   𝑓(𝑥) = 4e^6x+1

Résolution d’une équation différentielle d’ordre 2 :

Soit équation différentielle E : y  » + a.y ‘ + b.y = 0 avec a, b : réels

Cherchons les solutions de équation différentielle E  sous forme y = k e^rx           Où( k :réel ; r : réel ou complexe )

y = ke^rx

L’équation différentielle E devient :  y  » + a.y ‘ + b.y = (r² + a.r + b) k e^rx

• Si k = 0, alors y =0 est solution de ‘équation différentielle .
• Si k≠0 , r est solution de l’équation du second degré

on appelle r² + a.r + b=0    l’équation caractéristique.

C’est une équation du second degré à coefficients réels.

r₁ et r₂ racines de l’équation caractéristique r² + a.r + b=0

La solution de l’équation différentielle E : y » + a.y’+ b.y = 0 dépend des racines de l’équation caractéristique r₁ et r₂.

Δ= a² – 4b est le discriminant de r² + a.r + b=0

Si Δ > 0 l’équation caractéristique admet deux solutions réelles r₁ et r₂

La solution générale de l’équation différentielle (E) est y =C1e^r1x+C2e^r2x

(où C₁ et C₂ sont des constantes réelles quelconques.)

Si Δ= 0 l’équation caractéristique admet une solution réelle double r

La solution générale de l’équation différentielle (E) est y = (C₁.x + C₂ )e^rx

(où C₁ et C₂ sont des constantes réelles quelconques.)

Si Δ< 0 l’équation caractéristique admet deux solutions complexes conjuguées r₁ et r₂

Soient r₁ =α + βi. et r₂ =α – βi. ces deux solutions (avec α et β réels).

La solution générale de l’équation différentielle (E) est :

y = e^αx.(K₁.cos(βx) + K₂.sin(βx)) où K₁ et K₂ sont deux constantes réelles quelconques

Unicité de la solution de l’équation différentielle sous condition initiale 𝑥₀, 𝑦₀

Il existe une solution et une seule satisfaisant à des conditions initiales du genre y(x₀)=y₀ et y ‘(x₀)=y₀‘.

Exemples

Résoudre E    :   y’’-3y’+2y = 0

Solution

Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre ,son équation caractéristique associée est r²-3r+2=0 son discriminant Δ=3² -8=1 donc Δ> 0 elle  admet deux solutions réels : r₁ = 2 et r₂ = 1. Les solutions de l’équation différentielle sont donc les fonctions définies sur ℝ par y(x) = C₁e^2x+C₂e^x où C₁ et C₂ sont deux constantes réelles quelconques

Résoudre E : y’’+2y’+2y = 0

Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre ,son équation caractéristique associée est r² +2r+2=0 son discriminant Δ=2² -8=-4 donc Δ< 0  elle admet deux solutions complexes conjuguées r₁ =-1 + i. et r₂ = -1 – i La solution générale de l’équation différentielle (E) est :  y = e^-x.(K₁.cos(x) + K₂.sin(x)) où K₁ et K₂ sont deux constantes réelles quelconques

Résoudre  E : y’’-2y’+y = 0

Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre , son équation caractéristique associée est r² -2r+1=0 son discriminant Δ=2² -4=0 donc Δ= 0 admet une solution réelle double r=1 La solution générale de l’équation différentielle (E) est y = (C₁.x + C₂ )e^x  (où C₁ et C₂ sont des constantes réelles quelconques.)

Exercice équations différentielles 

Résoudre  l´équations différentielles suivante :

y’’-5y’+4y = 0     ,     y(0) = 5     y’(0)=8

Réponse :

L’équation caractéristique est : r² − 5r + 4 = 0     Δ= 9 > 0  ⇒  r1 = 1 et r2 = 4

La solution générale est : y(x) = C₁e^x + C₂e^4x   et   y′(x) = C₁e^x + 4C₂e^4x

condition initial : y(0) = C₁ + C₂ = 5      y′(0)= C₁ + 4C₂ = 8   ⇒   C₁=4 et C₂=1

La solution de l ´équations différentielles est : y(x) = 4e^x + 1e^4x

Exercice2

Résoudre l ´équations différentielles suivante :

y’’+4y = 0      ,         y(0) = 0          y’(0)=2

Réponse :

L’équation caractéristique est r² + 4 = 0   Δ = −16 < 0   ⇒  r₁ = +2i  et  r₂ = -2i    La solution générale est : y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)

Dérivée de y(x) est : y’(x) = −2C₁ sin(2x) + 2C₂ cos(2x)

condition initial : y(0) = C₁ = 0   et      y’(0) = 2C₂ = 2   ⇒     C₁ = 0 et  C₂ = 1

La solution de l ´équations différentielles est : y(x) = sin(2x)

Exercice3

Résoudre l´équations différentielles suivante :

y’’+2y’+y = 0 ,    y(0) = 1      y’(0)=0

Réponse :

L’équation caractéristique est : r² + 2r + 1 = 0     Δ= 0   ⇒  r = −1

La solution générale est : y(x) = (C₁x + C₂)e^−x

Dérivée de y(x) est : y′(x) = C₁e^−x − (C₁x + C₂)e^−x

Conditions initiales:  y(0) = C2 = 1    ;    y’(0) = C₁ − C₂ = 0  ;   C₁ = 1  ; C₂ = 1

La solution de l ´équations différentielles est  y(x) = (x + 1)e^−x

Exercice4

Résoudre l´équations différentielles suivante :

y’’+3y’ = 0 ,      y(0) = 0    ,     y(1)=1

L’équation caractéristique est r² + 3r = 0     Δ = 9 > 0  ⇒ r₁ = 0 et r₂ = −3

La solution générale est : y(x) = C₁ + C₂e^−3x

• Conditions initiales  y(0) = 0  ;     y(1)=1

y(0) = C₁ + C₂ = 0    ⇒C₁ = −C₂

y(1) = C₁ + C₂e⁻³ = −C₂ + C₂e⁻³ =C₂ ( e⁻³ -1) =1   ⇒C₁ = −C₂ =

              La solution de l´équations différentielles est  y(x) = (1 − e^−3x)