La probabilité conditionnelle est un concept fondamental en statistiques qui décrit comment la probabilité d’un événement peut changer si nous savons qu’un autre événement s’est déjà produit. C’est un outil puissant pour résoudre des problèmes complexes et pour comprendre les relations entre différents événements.

Dans cet article, nous allons explorer dix exercices différents sur la probabilité conditionnelle, avec des solutions complètes et détaillées.

Exercice 1:

Un sac contient 3 billets rouges et 2 billets bleus. On tire un billet au hasard, puis un autre sans remettre le premier. Quelle est la probabilité que les deux billets soient rouges ?

Solution

La probabilité que le premier billet soit rouge est P(R1) = 3/5.

Si le premier billet est rouge, alors il reste 2 billets rouges et 2 billets bleus dans le sac. Donc la probabilité que le deuxième billet soit rouge, sachant que le premier était rouge est P(R2|R1) = 2/4 = 1/2.

La probabilité que les deux billets soient rouges est donc P(R1 ∩ R2) = P(R1) * P(R2|R1) = 3/5 * 1/2 = 3/10.

Exercice 2

Dans une école, 60% des étudiants étudient l’anglais, 45% étudient le français, et 20% étudient les deux langues. Si un étudiant est choisi au hasard, quelle est la probabilité qu’il étudie le français sachant qu’il étudie l’anglais ?

Solution

Nous savons que 20% des étudiants étudient les deux langues. Donc, la probabilité que l’étudiant étudie le français sachant qu’il étudie l’anglais est P(F|A) = P(F ∩ A) / P(A) = 0.20 / 0.60 = 1/3.

Exercice 3

Un test médical a une sensibilité de 99% (la probabilité qu’il donne un résultat positif si la personne testée a la maladie) et une spécificité de 98% (la probabilité qu’il donne un résultat négatif si la personne testée n’a pas la maladie). Si 1% de la population a la maladie, quelle est la probabilité qu’une personne ayant obtenu un résultat positif au test ait réellement la maladie ?

Solution

C’est un exemple classique d’un problème de probabilité conditionnelle appelé le théorème de Bayes. Nous cherchons à savoir la probabilité d’avoir la maladie sachant que le test est positif, soit P(D|T+).

La formule du théorème de Bayes est :

P(D|T+) = P(T+|D) * P(D) / P(T+)

Où :

• P(D) = 0.01 est la probabilité d’avoir la maladie.
• P(T+|D) = 0.99 est la probabilité d’avoir un test positif sachant qu’on a la maladie.
• P(T+) est la probabilité d’avoir un test positif. C’est la probabilité d’avoir un test positif et la maladie plus la probabilité d’avoir un test positif et de ne pas avoir la maladie. Donc, P(T+) = P(T+ ∩ D) + P(T+ ∩ D’) = P(T+|D) * P(D) + P(T+|D’) * P(D’) = 0.99 * 0.01 + (1-0.98) * (1-0.01).

Nous pouvons calculer cette probabilité.

Exercice 4

On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité que la somme des faces soit supérieure à 8 sachant qu’au moins un des dés est un 6 ?

Solution

Exercice 5

Dans une famille avec deux enfants, quelle est la probabilité que les deux soient des filles sachant que l’aîné est une fille ?

Solution

Si nous savons que l’aîné est une fille, il ne reste qu’à déterminer le sexe du deuxième enfant. Supposons que la probabilité d’avoir une fille est de 0.5 (la même que celle d’avoir un garçon). Donc, la probabilité que le deuxième enfant soit une fille est de 0.5.

Exercice 6

On tire une carte d’un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité que ce soit un as sachant que la carte est rouge ?

Solution

Dans un jeu de 52 cartes, il y a 26 cartes rouges (13 cœurs et 13 carreaux). Parmi ces 26 cartes, 2 sont des as (l’as de cœur et l’as de carreau). Par conséquent, si nous savons que la carte est rouge, la probabilité que ce soit un as est de P(A|R) = 2/26 = 1/13.

Exercice 7

Dans une classe de 30 élèves, 18 sont des filles et 12 sont des garçons. Quelle est la probabilité que l’élève choisi au hasard soit une fille sachant qu’il est bon en maths ?

Solution

Pour résoudre ce problème, nous avons besoin d’informations supplémentaires. En particulier, nous avons besoin de savoir combien d’élèves sont bons en mathématiques et combien de ces élèves qui sont bons en mathématiques sont des filles. Supposons qu’il y ait 10 élèves bons en maths, dont 6 sont des filles. Dans ce cas, la probabilité que l’élève choisi au hasard soit une fille sachant qu’il est bon en maths est de P(F|M) = 6/10 = 0.6.

Exercice 8

On lance une pièce et un dé en même temps. Quelle est la probabilité d’obtenir un chiffre pair sur le dé sachant que la pièce est tombée sur pile ?

Solution

Le résultat du lancer de la pièce n’affecte pas le résultat du lancer du dé. Ils sont indépendants. Donc, la probabilité d’obtenir un chiffre pair sur le dé est toujours de P(Pair) = 1/2, peu importe le résultat de la pièce.

Exercice 9

Dans une boîte, il y a 5 balles rouges, 3 balles bleues et 2 balles vertes. Si on tire une balle au hasard, quelle est la probabilité qu’elle soit bleue sachant qu’elle n’est pas verte ?

Solution

Si nous savons que la balle n’est pas verte, alors il y a seulement 8 balles possibles restantes dans la boîte (5 rouges et 3 bleues). Donc, la probabilité que la balle soit bleue sachant qu’elle n’est pas verte est de P(B|¬V) = 3/8.

Exercice 10

Un étudiant doit passer 3 examens. La probabilité qu’il réussisse le premier est de 0,8, la probabilité qu’il réussisse le deuxième est de 0,7, et la probabilité qu’il réussisse le troisième est de 0,9. Si l’étudiant réussit au moins un examen, quelle est la probabilité qu’il réussisse tous les examens ?

Solution

La probabilité qu’il réussisse tous les examens est de P(Tous) = P(E1) * P(E2) * P(E3) = 0.8 * 0.7 * 0.9 = 0.504.

La probabilité qu’il réussisse au moins un examen est de 1 moins la probabilité qu’il échoue à tous les examens. La probabilité qu’il échoue à un examen est de 1 moins la probabilité qu’il réussisse à cet examen, donc la probabilité qu’il échoue à tous les examens est de (1 – P(E1)) * (1 – P(E2)) * (1 – P(E3)) = (1 – 0.8) * (1 – 0.7) * (1 – 0.9) = 0.006. Donc, la probabilité qu’il réussisse au moins un examen est de 1 – 0.006 = 0.994.

Donc, la probabilité qu’il réussisse tous les examens sachant qu’il réussit au moins un examen est de P(Tous|AuMoinsUn) = P(Tous) / P(AuMoinsUn) = 0.504 / 0.994 = 0.507.

Ces exercices ont pour but de vous aider à comprendre et à appliquer le concept de probabilité conditionnelle dans différentes situations. J’espère que ces solutions détaillées vous seront utiles. N’hésitez pas à les utiliser comme guide pour résoudre d’autres problèmes de probabilité conditionnelle.