Intégrale D'une Fonction : Cours & Exercices

Cours avec des exercices corrigés : intégrale d’une fonction pour le terminale.

Notion d’intégrale

Le but de l’intégration est de calculer la surface et le volume délimité par une courbe et l’axe des abscisses.

INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE

1 DÉFINITION

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b] et F une primitive de la fonction f sur l’intervalle [a; b]

le nombre réel F(b) −F(a) s’appelle l’intégrale de f entre a et b qu’on note :

$\int_{a}^{b}$ f(x)dx = F(b) −F(a)

Et on lit « intégrale de a à b de f(x)dx.

On note aussi $\bg_black [F(x)]_a^b$ = F(b) −F(a)

Donc $\int_{a}^{b}$ f(x)dx = $\bg_black [F(x)]_a^b$ =F(b) −F(a)

2 Propriété :

Soit f et g deux fonctions continues sur I et a, b et c trois réels de I et k nombre réel Alors :

Relation de Chasles

$\int_{a}^{b}$ f(x)dx = $\int_{a}^{c}$ f(x)dx+ $\int_{c}^{b}$ f(x)dx

Linéarité :

$\int_{a}^{b}$ ( f(x)+g(x) ) dx= $\int_{a}^{b}$ f(x)dx+ $\int_{a}^{b}$ f(x)dx

$\int_{a}^{b}$ K f(x) dx = k * $\int_{a}^{b}$ f(x)dx

Permutation des bornes

$\int_{a}^{b}$ f(x)dx= – $\int_{b}^{a}$ f(x)dx

$\int_{a}^{b}$ f(x)dx= $\int_{a}^{c}$ f(x)dx – $\int_{c}^{b}$ f(x)dx

$\int_{a}^{a}$ f(x)dx=0

Inégalité :

si f ≥ 0 Sur [a , b] et a ≤ b alors $\int_{a}^{b}$ f(x)dx ≥ 0
si f(x) ≤ g(x) et a ≤ b (∀ x ∈ [a;b]) alors $\int_{a}^{b}$ f(x)dx ≤ $\int_{a}^{b}$ g(x) dx

Inégalité de la moyenne

Sur un intervalle [a, b] avec a<b la fonction est comprise entre m et M ; on a m ≤ f(x) ≤ M

On intègre on a alors $\int_{a}^{b}$ m dx ≤ $\int_{a}^{b}$ f(x)dx ≤ $\int_{a}^{b}$ M dx

C’est à dire m(b – a) ≤ $\int_{a}^{b}$ f(x)dx ≤ M(b – a)

La valeur moyenne

Définition et théorème

Soit f fonction continue sur I et a, b deux nombres de I tel que a < b Alors :

Il existe au moins une valeur c ∈ [a;b] tel que f(c) = $\bg_white \frac{1}{b-a}$ $\int_{a}^{b}$ f(x)dx

La valeur moyenne de f est égal à: $\bg_white \frac{1}{b-a}$ $\int_{a}^{b}$ f(x)dx

3 Intégration par parties

Soit f et g deux fonctions dérivable sur [a; b] tel que f ^‘ et g^’ sont continues sur [a;b]

On a

Toute notre étude sera dans un repère orthogonal $\dpi{120} (O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$

Unité d’aire

On appelle unité d’aire u.a l’aire d’un rectangle OIKJ

1u.a = $\dpi{120} \bg_white ||\overrightarrow{i}||\ast||\overrightarrow{j}||$

4 Définition :

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b].

Soit A aire la surface délimitée par :

la courbe C représentative de la fonction f,

l’axe des abscisses OX

les droites d’équations x=a et x=b

Intégrale de f sur [a ;b] : mesure de l’aire en u.a. du domaine situé sous la courbe C_f.

On la note : A= $\int_{a}^{b}$ f(x)dx

si f ≥0 Sur [a , b] et a ≤ b alors $\int_{a}^{b}$ f(x)dx ≥ 0

Si f est positif sur [a ;b] alors A= $\int_{a}^{b}$ f(x)dx ≥ 0 exprimée en u.a

Exemples

1. Calculer l’intégral de f(x) = x² dans l’intervalle [0 , 2]

Solution

$\int_{a}^{b}$ f(x) dx = F(b) −F(a)

$\int_{0}^{2}$ x² dx=

2- . Déterminer l’intégral de f(x) = e^x dans l’intervalle [1 , 5]

Solution

$\int_{1}^{5}$ f(x)dx = $\int_{1}^{5}$ e^x dx= = e⁵-e¹

3-Déterminer l’aire de f(x) = $\sqrt{x}$ dans l’intervalle [0 , 9]

Solution

Intégrale d’une fonction continue négative

si f ≤ 0 Sur [a , b] et a ≤ b alors $\int_{a}^{b}$ f(x) dx ≤ 0

Aire A= – $\int_{a}^{b}$ f(x)dx

L’aire est exprimé positivement donc A= $\int_{a}^{b}$ |f(x)| dx exprimée en u.a.,

Exemple :

Calculer l’Aire de f(x) = $\bg_white \frac{x^{2}}{3}$ -4 entre x = -2 et x = 3

La courbe de f(x) = $\bg_white \frac{x^{2}}{3}$ -4

f(x)<0 sur l’intervalle [-2 , 3] donc :

Aire A= – $\int_{-2}^{3}$ f(x) dx

Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Exemple

Calculer l’Aire de f(x)= 3x²+7x-6 entre x=-4 et x=2

A= $\int_{-4}^{2}$ 3x²+7x-6 dx = A₁+A₂+A₃

Sur l’intervalle [-4 , -3]   f(x)>0 donc A₁= $\int_{-4}^{3}$ 3x²+7x-6 dx

Sur l’intervalle [-3 , $\bg_white \frac{2}{3}$ ] f(x) <0 donc A₂= – $\int_{-3}^{\frac{2}{3}}$ 3x²+7x-6 dx

Sur l’intervalle [ $\bg_white \frac{2}{3}$ , 2]   f(x)>0 donc A₃= $\int_{\frac{2}{3}}^{2}$ 3x²+7x-6 dx

Alors l’aire de la fonction entre x=-4 et x=2 est:

A= $\int_{-4}^{2}$ 3x²+7x-6 dx = A₁+A₂+A₃

A= $\int_{-4}^{3}$ 3x²+7x-6 dx – $\int_{-3}^{\frac{2}{3}}$ 3x²+7x-6 dx +   $\int_{\frac{2}{3}}^{2}$ 3x²+7x-6 dx

Aire limitée par deux courbes

5 Théorème

$Théorème$

Soit f et g sont des fonctions continues sur l’intervalle[a ;b]

L’aire de la surface délimitée par les 2 courbes f et g , et les droites d’équations respectivement x = a et x = b est égale à :

Exemple

Calculer l’aire délimitée par les 2 courbes f et g entre x=0 et x= 3

g(x)=8 – x² et f(x)= x²

l’aire délimitée par les 2 courbes f et g entre x=0 et x= 3 est égal

$\int_{0}^{3}$ | f(x)-g(x)| dx

Sur l’intervalle [0 , 2]     g(x) > f(x) donc :

A₁= $\int_{0}^{2}$ [ g(x)- f(x)] dx= $\int_{0}^{2}$ (8 – 2x²) dx

Sur l’intervalle [2 , 3] f(x)> g(x) donc :

A₂₌[ f(x)-g(x)] dx = (2x²– 8) dx

A₁+A₂= $\int_{0}^{2}$ (8 – 2x²) dx + (2x²– 8) dx

CALCULS DE VOLUME

L’espace est muni d’un repère orthogonal $\dpi{120} (O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$

Unité de volume est noté par u.v. égal à    $\dpi{120} \bg_white ||\overrightarrow{i}||\ast||\overrightarrow{j}||\ast||\overrightarrow{k}||$

6 Théorème

$Théorème$

L’espace est muni d’un repère orthogonal

Soit f fonction continue sur l’intervalle [a; b] avec ( a < b )

le volume du solide est généré par la révolution autour de l’axe Ox de la courbe

y = f (x) comprise entre x = a et x = b et égal à :

V=

Exemple

1. calculer le volume du solide de révolution que se forme autour de Ox de la fonction f(x)=2 sur l’intervalle [-2 , 3]

Solution:

V= $\int_{-2}^{3}$ S (x)dx = $\int_{-2}^{3}$ π ( f(x))²dx= $\int_{-2}^{3}$ π ( 2)² dx= 4π $\int_{-2}^{3}$ dx=

4π = 4π(3-(-2))= 20π

2. calculer le volume du solide de révolution que se forme autour de Ox de la fonction f(x)= x sur l’intervalle [0 , 4]

Solution:

En a arrivé à la fin du cours d’intégrale d’une fonction, si vous avez des questions, laissez un commentaire.